实对称矩阵的特征向量关系

设$\mathbf{A}$为实对阵矩阵，则有：

$${\mathbf{A}}^T=\mathbf{A}$$

设${\lambda }_1$和${\lambda }_2$为$\mathbf{A}$的两个实特征值（${\lambda }_1\ne {\lambda }_2$），其对应的特征向量为${\vec{\mathbf{v}}}_1$和${\vec{\mathbf{v}}}_2$，则有：

$$\begin{array}{rl}\mathbf{A}{\vec{\mathbf{v}}}_1& ={\lambda }_1{\vec{\mathbf{v}}}_1\\ \mathbf{A}{\vec{\mathbf{v}}}_2& ={\lambda }_2{\vec{\mathbf{v}}}_2\end{array}$$

左乘${\vec{\mathbf{v}}}_2^T$得

$${\vec{\mathbf{v}}}_2^T\mathbf{A}{\vec{\mathbf{v}}}_1={\vec{\mathbf{v}}}_2^T{\lambda }_1{\vec{\mathbf{v}}}_1$$

由${\mathbf{A}}^T=\mathbf{A}$得

$${\vec{\mathbf{v}}}_2^T\mathbf{A}{\vec{\mathbf{v}}}_1=(\mathbf{A}{\vec{\mathbf{v}}}_2{)}^T{\vec{\mathbf{v}}}_1={\lambda }_2{\vec{\mathbf{v}}}_2^T{\vec{\mathbf{v}}}_1$$

因为$\mathbf{A}{\vec{\mathbf{v}}}_1={\lambda }_1{\vec{\mathbf{v}}}_1$：

$${\lambda }_1{\vec{\mathbf{v}}}_2^T{\vec{\mathbf{v}}}_1={\lambda }_2{\vec{\mathbf{v}}}_2^T{\vec{\mathbf{v}}}_1$$

则：

$$({\lambda }_1-{\lambda }_2){\vec{\mathbf{v}}}_2^T{\vec{\mathbf{v}}}_1=0$$

因为${\lambda }_1\ne {\lambda }_2$则

$${\vec{\mathbf{v}}}_2^T{\vec{\mathbf{v}}}_1=0$$

则实对称矩阵的特征值俩俩正交