二次型

基本曲线形状：

• 椭圆：$\frac{x^2}{a}+\frac{y^2}{b}=1$
• 双曲线：$\frac{x^2}{a}-\frac{y^2}{b}=1$
• 抛物线：$a{x}^2-y=1$

一般形式：

$$\begin{array}{rl}a{x}^2+bxy+c{y}^2+dx+ey+f& =0\\ \stackrel{(\text{略去一次项})}{\Rightarrow }\frac{a}{f}{x}^2+\frac{b}{f}xy+\frac{c}{f}+1& =0\\ \Rightarrow a{x}^2+bx{y}^2+c{y}^2+1& =0\end{array}$$

二次型矩阵

$$\begin{array}{rl}f(x,y)& =\left[\begin{array}{cc}x& y\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]\\ & =\left[\begin{array}{cc}x& y\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}ax+by\\ cx+dy\end{array}\right]\\ & =(a{x}^2+bxy)+(cxy+d{y}^2)\\ & =a{x}^2+(b+c)xy+d{y}^2\\ & =a{x}^2+b^{\prime }xy+d{y}^2\end{array}$$

也可以写做

$$\begin{array}{rl}f(x,y)& ={\vec{\mathbf{x}}}^T\mathbf{A}\vec{\mathbf{x}},(\vec{\mathbf{x}}=\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right])\\ & \mathbf{A}\text{为实对称矩阵}\end{array}$$

Q：为什么$\mathbf{A}$是实对称矩阵？

A：实对称矩阵有良好的性质：具有实特征值、特征向量俩俩正交 eiginvec-of-symmetric-matrix

正定矩阵

对于任意的$x,y$（除$x=y=0$时）：

• $f(x,y)>0$则$\mathbf{A}$为正定矩阵
• $f(x,y)\ge 0$则$\mathbf{A}$半正定
• $f(x,y)<0$则$\mathbf{A}$负定
• $f(x,y)\le 0$则$\mathbf{A}$半负定
• 其余情况则$\mathbf{A}$为不定矩阵

正定判断

1. 所有特征值${\lambda }_n>0\iff$正定