随机事件

常用公式

1. $P(A-B)=P(A)-P(AB)$
2. $A\subset BandB\supset A\Rightarrow A=B$
3. 对于事件描述：$A\cup B\iff A+B$：A, B至少有其中一个会发生（OR）
4. $AB\iff A\cap B$ ：A, B同时发生（AND）
5. $P(A+B)=P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(AB)$
6. $P(A-B)=P(A)-P(AB)$
7. $A$、$B$不相容：$AB=\varnothing$
8. 条件概率：$P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}$
9. 全概率：$P(B)={\sum }_{i=1}^{n}P(A_i)P(B|A_i)$
10. 贝叶斯：$P(B_i|A)=\frac{P(B_i)P(A|B_i)}{{\sum }_{j=1}^{n}P(B_j)P(A|B_j)}$
11. $D(X)=E[(X-E(X){)}^2]=E(X^2)-E(X{)}^2$

常见分布

1. $0-1$分布：$P\{X=k\}=p^k(1-p{)}^{1-k},k=0,1$
2. 二项分布$B(n,p)$：

$$P\{X=k\}=C_n^k{p}^k(1-p{)}^{n-k},k=0,1,2,\cdots ,n$$

$E(X)=np$, $D(X)=np(1-p)$ 3. 泊松分布：

$$P\{X=k\}=\frac{{\lambda }^k{e}^{-\lambda }}{k!},k=0,1,2,\cdots$$

$E(X)=\lambda$, $D(X)=\lambda$

4. 超几何分布（$N$个球中有$M$个红球，不放回地抽出$n$个球，其中有$k$个红球）

$$\begin{array}{rl}& P\{X=k\}=\frac{C_M^k{C}_{N-M}^{n-k}}{C_N^n},\\ & (max\{0,n-N+M\}\le k\le min\{n,M\})\end{array}$$

$E(X)=n\frac{M}{N}$, $D(X)=n\frac{M}{N}\frac{(N-n)(N-M)}{N(N-1)}$

5. 几何分布（成功概率为$p$, 在$k$次试验中，第$k$次才成功的概率）：

$$P\{X=k\}=p(1-p{)}^{k-1},k=1,2,3,\cdots$$

$E(X)=\frac{1}{p}$, $D(X)=\frac{1-p}{p^2}$

6. 指数分布：

$$f(x;\lambda )=\{\begin{array}{rl}\lambda e^{-\lambda x},& x\ge 0,\\ 0,& x<0.\end{array}$$

$E(X)=\frac{1}{\lambda }$, $D(X)=\frac{1}{{\lambda }^2}$

$$\begin{array}{rl}E(X)& ={\int }_0^{\infty }x\lambda e^{-\lambda x}dx\\ & =-{\int }_0^{\infty }xd(e^{-\lambda x})\\ & =-(x{e}^{-\lambda x}{|}_0^{+\infty }-{\int }_0^{+\infty }{e}^{-\lambda x}dx)\\ & =-(x{e}^{-\lambda x}{|}_0^{+\infty }+\frac{1}{\lambda }{e}^{-\lambda x}{|}_0^{+\infty })\\ & =\frac{1}{\lambda }\end{array}$$